Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且S_n=
（1）求数列{a_n}的通项公式；     
（2）若，求数列{b_n}的前n项和；
（3）数列{k_n}满足k_n+1=3k_n-1，k₁=1，当n≥2时证明：．

Answer

（1）再写一式，两式相减，可得an-an-1=2，从而可求数列的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和；
（3）先用数学归纳法证明当n≥3时，3n-1＞2n，然后用错位相减法计算，可得结论．
（1）【解析】
∵Sn=，，
∴
∵正项数列{an}，∴an-an-1=2，
∵S1=，
∴a1=3，∴an=2n+1；
（2）【解析】
∵，∴bn=
∴①
∴②
①-②整理可得；
（3）证明：①当n=3时，33-1＞2•3；
②设n=k（k≥3）时，3k-1＞2k，则n=k+1时，3k=3•3k-1＞6k＞2（k+1）
∴n=k+1时，结论成立，
∴3n-1＞2n，即
所以
令Sn′=，则
两式相减可得==
∴
∴
∵
∴得证．