Question

已知数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=（n∈N⁺）
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）a1=0，an+1=，通过n=1，2，3，直接计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．
【解析】
（Ⅰ） 由a1=0，an+1=，
当n=1时，a2=，
当n=2时，a3==，
当n=3时，a3==，
（Ⅱ）由以上结果猜测：an=（6分）
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，左边=a1=0，右边═0，等式成立．（8分）
（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=成立．
那么，当n=k+1时，ak+1======
这就是说，当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），可知猜测an=对于任意正整数n都成立．