Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）证明：f（x）在R上是减函数；
（2）若，求实数m的范围．

Answer

（1）通过取y=1，由已知的等式得到f（x）=f（x+1）+1，设x1，x2∈R，规定大小后通过转化得到：若x1＞x2，则所以f（x1-x2+1）＜0，然后得到f（x1）=f（x1+1）+1=f[x2+（x1-x2+1）]+1，展开后分析即可得到答案；
（2）运用f（x）=f（x+1）+1把的左边展开，然后求出f（0）=1，借助于函数是减函数脱去“f”后求解不等式及可．
（1）证明：取y=1，则f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．设x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1-x2＞0，x1-x2+1＞1，
因为当x＞1时f（x）＜0，所以f（x1-x2+1）＜0．
f（x1）=f（x1+1）+1=f[x2+（x1-x2+1）]+1
=f（x2）+f（x1-x2+1）-1+1=f（x2）+f（x1-x2+1）．
因为f（x1-x2+1）＜0，所以f（x2）＜f（x1）．
所以函数f（x）在R上是减函数；
（2）【解析】
取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由，得．
所以，．
因为f（x）为实数集上的减函数，且f（0）=1
所以．
则m≤0．
所以实数m的范围是（-∞，0]．