Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求A₁C与平面AB₁D₁所成的角．

Answer

（1）连结A1C1交B1D1于O1，连结AO1，由正方体的性质证出四边形AA1C1C是平行四边形，从而证出AOC1O1，得四边形AOC1O1是平行四边形，得C1O∥AO1，结合线面平行的判定定理即可得到C1O∥面AB1D1；
（2）根据三垂线定理，由CC1⊥平面A1B1C1D1和A1C1⊥B1D1证出A1C⊥B1D1，同理证出A1C⊥AB1，从而可得直线A1C⊥平面AB1D1，由此即可得到A1C与平面AB1D1所成的角是90°．
【解析】
（1）连结A1C1交B1D1于O1，连结AO1，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1CC1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∵O、O1分别为AC、A1C1的中点
∴AOC1O1，可得四边形AOC1O1是平行四边形，得C1O∥AO1
∵C1O⊄面AB1D1，AO1⊂面AB1D1，
∴C1O∥面AB1D1；
（2）∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
∴A1C1是斜线A1C在平面A1B1C1D1内的射影
∵正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1
∴A1C⊥B1D1，同理可得A1C⊥AB1
∵B1D1、AB1是平面AB1D1内的相交直线，∴A1C⊥平面AB1D1
由此可得A1C与平面AB1D1所成的角是90°．