Question

已知x=2是函数f（x）=alnx+x²-12x的一个极值点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的导数f′（x），由f'（2）=0求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x2-12x+b，由f′（x）=0，求得极值点的横坐标，再根据导数的符号求出函数f（x）的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=+2x-12，（x＞0），
由已知f'（2）=0得，-8=0，解得a=16．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x2-12x+b，x∈（0，+∞），
令f′（x）===0，解得 x=2或 x=4．
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；
当x∈（2，4）时，f′（x）＜0；
x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞）；
f（x）的单调减区间是（2，4）