Question

椭圆（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．

Answer

（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0结合y1=1-x1，y2=1-x2可得2x1x2-（x1+x2）+1=0，将y=1-x代入可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0则，代入整理可求
（2））由 及，   可求a得范围
【解析】
设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0（2分）
∵y1=1-x1，y2=1-x2
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0①又将y=1-x代入可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
∵△＞0∴，（4分）
代入①化简得 ．（6分）
（2）∵
∴
∴（8分）
又由（1）知   （9分）
∴∴，（11分）
∴长轴 2a∈[]．（12分）