Question

已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x．
（1）求实数a的值；
（2）若m^a=1，求g（m）的值；
（3）求g（x）在[-2，0]上的值域．

Answer

（1）根据指数对数的运算法则，结合f（x）的表达式可算出a=log32；
（2）由ma=1得2m=3，根据g（x）的表达式得到g（m）=3am-4m=（3a）m-（2m）2，再结合（1）中的结论可得g（m）=3-32=-6；
（3）根据题意得g（x）=2x-4x．设2x=t，然后由-2≤x≤0得，结合二次函数的图象与性质，即可求出g（x）在[-2，0]上的值域．
【解析】
（1）∵f（x）=3x，
∴f（a+2）=3a+2=18，即3a×32=18，可得3a=2，
∴a=log32…（4分）；
（2）∵ma=1，∴m=log23，可得2m=3，…（6分）
∵g（x）=3ax-4x，
∴g（m）=3am-4m=（3a）m-（2m）2
=2m-（2m）2=3-32=-6；…（8分）
（3）由（1）3a=2，可得y=g（x）=3ax-4x=2x-4x，
令2x=t，（-2≤x≤0），
∵，…（9分）
∴，
当时，，当t=1时，ymin=0，…（11分）
∴g（x）的值域为…（12分）