Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且；②f（x）在R上的最小值为0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k²x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer

（1）有条件得，求出f（1）=1，再由条件求出函数的对称轴，由函数的最小值列出方程求出a、b、c的值，代入解析式化简即可；
（2）由（1）求出g（x）化简后，求出函数的对称轴，再由二次函数的单调性和条件列出不等式，求出k的值；
（3）先假设存在，对f（x）配方后，再由分离常数法把条件转化为：，判断出函的单调性，求出最大值和最小值，结合t求出m的最大值．
【解析】
（1）∵在R上恒成立，
∴，即f（1）=1
∵f（x-4）=f（2-x），∴函数图象关于直线x=-1对称，
∴．
∵f（1）=1，∴a+b+c=1
又∵f（x）在R上的最小值为0，
∴f（-1）=0，即a-b+c=0，
由，解得，
∴；
（2）由（1）得，，
∴g（x）对称轴方程为x=2k2-1，
∵g（x）在[-1，1]上是单调函数，
∴2k2-1≤-1或2k2-1≥1，
解得k≥1或k≤-1或k=0，
∴k的取值范围是k≥1或k≤-1或k=0．
（3）假设存在存在t∈R满足条件，
由（1）知，
∴f（x+t）≤x⇔（x+t+1）2≤4x且x∈[1，m]，
⇔在[1，m]上恒成立⇔
∵在[1，m]上递减，
∴，
∵在[1，m]上递减，
∴
∴，∴，，
∵m＞1，∴，
∴m≤9，∴m的最大值为9．