Question

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中；对k≥2，k∈N^*，定义{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中．
（1）若数列{a_n}的通项公式为，分别求出其一阶差分数列{△a_n}、二阶差分数列{△²a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足，求出数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

Answer

（1）利用一阶差分数列与k阶差分数列的概念即可求得通项公式为an=n2-6n的数列{an}的一阶差分数列{△an}、二阶差分数列{△2an}的通项公式；
（2）由△2an-△an+1+an=-2n，可求得=+，继而可求得an=n•2n-1，利用错位相减法即可求得其前n项和Sn．
【解析】
（1）△an=an+1-an=[（n+1）2-6（n+1）]-（n2-6n）=2n-5…3分
△2an=△an+1-△an=[2（n+1）-5]-（2n-5）=2…2分
（2）由△2an-△an+1+an=-2n，
则△an+1-△an-△an+1+an=-2n
即△an-an=2n，
∴an+1-an=an+2n，即an+1=2an+2n…2分
∴=+，
则{}为公差是的等差数列…2分
又=，
∴=+（n-1）=n（n∈N*），
∴an=n•2n-1…2分
∴Sn=1•2+2•21+3•22+4•23+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1…①
2Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n…②
①-②得：
-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=-n•2n=2n-1-n•2n，
∴Sn=（n-1）2n+1（n∈N*）…2分