已知函数，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．

已知函数

，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．

（1）f（x）的定义域是各部分定义域的交集．（2）研究f（x）的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称时再看f（-x）与f（x）的关系．（3）先看f（x）在区间（0，1）上的单调性，由函数的奇偶性，进而可得f（x）在（-1，0）内的单调性与在区间（0，1）上的单调性一致．【解析】（1）x须满足，由＞0得-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）．（2）因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有，所以f（x）是奇函数．研究f（x）在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1＜x2，则 = 由，得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减，由于f（x）是奇函数，所以f（x）在（-1，0）内单调递减．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等