Question

已知函数f（x）=x²+2ax+1，x∈[-2，5]
（1）当a=-2时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使得y=f（x）在区间[-2，5]上是单调函数．

Answer

（1）先对解析式平方，求出其对称轴，根据二次函数在闭区间上的最值求法即可得到结论；
（2）先对解析式平方，求出其对称轴，根据二次函数单调区间的分解点是对称轴不等式，再求出a的范围．
【解析】
（1）由题意得f（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1-a2；
当a=-2时，f（x）=（x-2）2-3；
∴函数在x=2时，函数有最小值-3；
在x=-2时，函数有最大值f（-2）=（-2-2）2-3=13．
（2）∵f（x）=x2+2ax+2=（x+a）2+1-a2；
∴对称轴x=-a，
∴函数f（x）在（-∞，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
∵函数y=f（x）在区间[-2，5]上是单调函数；
∴-a≥5或-a≤-2，即a≤-5或a≥2，
故当a≤-5或a≥2时，y=f（x）在区间[-2，5]上是单调函数．．