Question

设F₁，F₂分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若；则点A的坐标是    ．

Answer

作出直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点A的坐标．
【解析】
方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'
又∵
由椭圆的对称性，得
设A（x1，y1），B'（x2，y2）
由于椭圆的a=，b=1，c=
∴e=，F1（，0）．
∵

从而有：

由于≤x1，x2，
∴，，
即=5×
=5． ①
又∵三点A，F1，B′共线，
∴（，y1-0）=5（--x2，0-y2）
∴．②
由①+②得：x1=0．
代入椭圆的方程得：y1=±1，
∴点A的坐标为（0，1）或（0，-1）
 方法2：因为F1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（xA，yA），B（xB，yB），
若；则，所以，
因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，
故A（0，±1）．
故答案为：（0，±1）．