Question

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0 时，0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）若f（1）=，求的值；
（Ⅱ）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
（Ⅲ）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．

Answer

（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（m+n）=f（m）•f（n），可令m=n=1，先求出f（2），然后由f（1）=，即可求出的值；
（2）赋值求出f（0）=1，令m=x，n=-x，代入恒等式即得证；
（3）先在定义域内任取两个值x1，x2，并规定大小，然后判定出f（x1），与f（x2）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；
【解析】
（1）令m=n=1，则f（2）=f（1）f（1）=，
∴=
（2）证明：①令y=0，x=1，得f（1）=f（1）f（0）
∵x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴f（1）＞0…（3分）
∴f（0）=1
②当x＜0时，则-x＞0，
令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得
由于当x＞0时，0＜f（x）＜1
则0＜f（-x）＜1，即＞1
故当x＜0时，有f（x）＞1
（3）函数f（x）在R上是单调递减函数
证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x2-x1＜0，∴0＜f（x2-x1）＜1
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）f（x1）＜f（x1）
∴函数f（x）在R上是单调递减函数．