Question

已知函数f（x）=
（1）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；
（II）求证：曲线y=f（x）总有斜率为a的切线；
（III）若存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出导函数，令导函数大于0求出x的范围，写成区间即为f（x）的单调递增区间；
（II）求出导函数，令f′（x）=x2-ax=a，因为判别式大于0恒成立，方程x2-ax-a=0对任意正数a都有解，得到证明．
（III）求出导函数，令导函数等于0求出根，通过对a的分类讨论得到根a在已知区间内函数的最小值大于0恒成立，所以此时不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，当根a不在区间内求出f（x）的最小值，令最小值小于0求出a的范围即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=3时，，
f′（x）=x2-3x，
令f′（x）=x2-3x＞0解得x＜0或x＞3．
所以f（x）的单调递增区间（-∞，0），（3，+∞）．
（II）f′（x）=x2-ax，
令f′（x）=x2-ax=a，即x2-ax-a=0，
因为a＞0，
所以△=a2+4a＞0恒成立，
所以方程x2-ax-a=0对任意正数a都有解，
所以曲线y=f（x）总有斜率为a的切线；
由（II）知，f′（x）=x2-ax，
令f′（x）=x2-ax=0得x1=0或x2=a，
因为a＞0，所以当0＜a＜2时，x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

因为，
所以，对应任意x∈[-1，2]，f（x）＞0，即此时不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
当a≥2时，x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

因为，
所以函数f（x）在[-1，2]上的最小值是．
因为存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
所以，
所以a
所以a 的取值范围为（，+∞）