Question

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线交x轴于A点，交y轴于B点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．则线段AB中点的轨迹方程为    ．

Answer

化圆的一般方程为标准方程，求出圆的圆心和半径，写出与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线的截距式方程，化为一般式，由圆心到直线的距离等于半径列出一关系式，设出A、B的中点坐标，利用中点坐标公式得到中点坐标与切线在坐标轴上的截距的关系，利用代入法可得线段AB中点的轨迹方程．
【解析】
由x2+y2-2x-2y+1=0，得（x-1）2+（y-1）2=1，
所以已知圆的圆心为（1，1），半径=1，
设直线方程为=1．
即bx+ay-ab=0．
因为圆心到切线距离等于半径，
所以，
（a+b-ab）2=a2+b2，
设AB中点为（x，y），则x=，y=，
即a=2x，b=2y，代入（a+b-ab）2=a2+b2，
得（2x+2y-4xy）2=4x2+4y2，
整理得2x2y2+xy-2x2y-2xy2=0．
因为a，b都不等于0，
所以x，y也不等于0．
则2xy+1-2x-2y=0
其中x=＞1，y=＞1．
所以线段AB中点的轨迹方程为2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．
故答案为2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．