Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的正切值．

Answer

（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明EF∥PA，即可．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量求二面角B-PD-C的正切值．
【解析】
方法1：（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点∴F为AC中点
又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA…（3分）
且PA⊆平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…．（5分）
（Ⅱ） 【解析】
设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD
易知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF
∴∠EMF是二面角B-PD-C的平面角…．（10分）
Rt△FEM中，，所以．
故所求二面角的正切值为…．（14分）
方法2：另【解析】
如图，取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，
∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵，∴PA⊥PD，．
以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，
则有，，，，，．
∵E为PC的中点，∴．
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为而，
且，∴EF∥平面PAD．

（Ⅱ）∵，∴，
∴，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA⊂平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD，
所以平面PDC的法向量为．
设平面PBD的法向量为．∵，
∴由可得，令x=1，则y=1，z=-1，
故，
∴，
即二面角B-PD-C的余弦值为，二面角B-PD-C的正切值为．