Question

已知a，b，c∈R，且a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，f（t）=-a，（t∈R且t≠1）
（Ⅰ）求证：a＜0，c＞0；
（Ⅱ） 求的取值范围．

Answer

函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0，则a+2b+c=0．
（1）根据a＜b＜c，得到4a＜a+2b+c=0＜4c，故有a＜0，c＞0
（2）由（1）知，c=-a-2b，则，
又由f（t）=-a，得到△=4b2+8ab≥0，进而判断出的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）证：∵f（x）=ax2+2bx+c
∴f（1）=a+2b+c=0
又a＜b＜c∴4a＜a+2b+c＜4c
即4a＜0＜4c∴a＜0，c＞0
（Ⅱ） 【解析】
由（1）得：c=-a-2b代入a＜b＜c
结合a＜0知：…（2）
将c=-a-2b代入at2+2bt+c=-a得at2+2bt-2b=0，
即方程ax2+2bx-2b=0有实根，
故或…（3）
联立（2）（3）知
所以，所求的取值范围是[0，1）