Question

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N^*），设
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）求S_n．

Answer

（Ⅰ）由对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，g（2m）=g（m）（m∈N*），S1=g（1）+g（2），S2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4），S3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8），能求出S1，S2，S3．
（Ⅱ）由g（2m）=g（m），n∈N+，知Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n-1）+g（2n）=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]=[1+3+5+…+（2n-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2n-1）]，得Sn-Sn-1=4n-1，由此能求出Sn．
【解析】
（Ⅰ）S1=g（1）+g（2）=1+1=2
S2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6
S3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N+
∴
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]
=[1+3+5+…+（2n-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2n-1）]
==4n-1+Sn-1
则
∴Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1
=4n-1+4n-2+…+42+4+2=