Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=5时，求函数g（x）图象过的定点；
（2）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（3）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）当t=5时，g（x）=2loga（2x+3）令2x+3=1，求得定点横坐标．
（2）求得，利用基本不等式求得∈[16，18]，再分若a＞1，0＜a＜1列出相应的方程并求解．
（3）由已知，在x∈[1，2]时恒成立．0＜a＜1，转化为在x∈[1，2]时恒成立．
（本小题满分10分）
【解析】
（1）当t=5时，g（x）=2loga（2x+3）（a＞0，a≠1，t∈R），
∴g（x）图象必过定点（-1，0）．…（1分）
（2）当t=4时，
当x∈[1，2]时，∈[16，18]，
若a＞1，则F（x）min=loga16=2，解得a=4或a=-4（舍去）；
若0＜a＜1，则F（x）min=loga18=2，解得（舍去）．故a=4．…（5分）
（3）转化为二次函数在某区间上最值问题．由题意知，在x∈[1，2]时恒成立，
∵0＜a＜1，∴在x∈[1，2]时恒成立，…（7分）
在x∈[1，2]时恒成立，∴t≥1．
故实数t的取值范围[1，+∞）．     …（10分）