Question

设函数f（x）定义域为R且f（x）的值恒大于0，对于任意实数x，y，总有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（0）=1，且f（x）在R上单调递减；
（2）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B≠∅，求a的取值范围．

Answer

（1）令x=-1，y=0，即可证得f（0）=1；设x1，x2∈R，且x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），可判断其符号大于0，从而可证f（x）在R上单调递减；
（2）由f（x2）•f（y2）＞f（1），得f（x2+y2）＞f（1），利用f（x）在R上单调递减的性质可知x2+y2＜1；由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0，由∩B≠∅，可知直线与圆相交，从而可求得a的取值范围．
【解析】
（1）证明：令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
又当x＜0时，f（x）＞1，所以有f（0）=1 …（2分）
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1-x2＜0，于是f（x1-x2）＞1…3分
∴f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）…4分
=f（x1-x2）•f（x2）-f（x2）
=f（x2）[f（x1-x2）-1]…5分
∵f（x）在R上恒大于0，
∴f（x2）＞0，
∴f（x2）[f（x1-x2）-1]＞0，
∴f（x1）＞f（x2），即f（x）在R上单调递减；…6分
（2）由f（x2）•f（y2）＞f（1），得f（x2+y2）＞f（1），
∵f（x）在R上单调递减，
∴x2+y2＜1，即A表示圆x2+y2=1的内部…8分
由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0，
∴B表示直线ax-y+2=0…10分
∵A∩B≠∅，
∴直线与圆相交，即＜1解得：a＞或a＜-…13分