Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x；
（1）求f（x）的解析式    
（2）求当x∈[0，a]（a为大于0的常数）时f（x）的最小值．

Answer

（1）利用待定系数法设出f（x）=ax2+bx+c（a≠0），求出f（x+1）+f（x-1）应该是个关于a，b，x的代数式2ax2+2bx+2a+2c，与2x2-4x相同即可求解
（2）由（1）知函数的对称轴方程为x=1，对a结合函数单调性进行分类，当0＜a＜1时，函数f（x）在[0，a]上为单调减函数，故f（x）的最小值为f（a），当a≥1时，函数f（x）过函数的最低点，故最小值为f（1）
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则有f（x+1）+f（x-1）=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x
对任意实数x恒成立
∴
解之得a=1，b=-2，c=-1
∴f（x）=x2-2x-1
（2）当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（a）=a2-2a-1
当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=-2