Question

如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为PB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大小．

Answer

（I）先证明AE⊥PB，BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE，利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（II）作BM⊥PC，BM交PC于点M，连接DM，则∠BMD为二面角B-PC-D的平面角．在△BMD中，利用余弦定理可求．
（I）证明：∵AB=AP，E为PB的中点，
∴AE⊥PB
∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
∴PA⊥BC
∵BC⊥AB，PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB，
∵AE⊂平面PAB，
∴BC⊥AE
∵PB∩BC=B
∴AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）【解析】
作BM⊥PC，BM交PC于点M，连接DM，则
∵PB=PD，BC=CD，PC=PC
∴△PBC≌△PCD
∴DM⊥PC
∴∠BMD为二面角B-PC-D的平面角．
在△BMD中，BD=，BM=DM=，∴cos∠BMD==-
∴∠BMD=
∴二面角B-PC-D的平面角为．