Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁，二面角A-BD-C的大小为．
（Ⅰ）证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

Answer

（I）证明四边形AMED为平行四边形，可得DF∥AM，利用线面平行的判定定理，可得DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．
（I）证明：取BC的中点M，连接AM，EM，则
DA平行且等于BB1，EM平行且等于BB1
∴DA∥EM，DA=EM
∴四边形AMED为平行四边形
∴DF∥AM
∵DF⊄平面ABC，AM⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（Ⅱ）【解析】
求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．
作AG⊥BD于G，连GC，则GC⊥BD，∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，∠AGC=60°
不妨设AC=，则AG=2，GC=4
在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得AD=
设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．
利用=h，可求得h=，又可求得，
∴sinα=，∴α=30°．
即B1C与平面BCD所成的角为30°．