Question

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立？并说明理由．

Answer

根据函数单调性的定义，将不等式f（k-sinx）≥f（k2-sin2x）转化成关于k和sinx的不等式组恒成立．由此结合三角函数的最值加以计算，即可确定存在实数k=-1，满足题中的条件．
【解析】
由题意，可得
∵函数f（x）是定义在（-∞，1]上的减函数，不等式f（k-sinx）≥f（k2-sin2x）恒成立
∴不等式对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
由此可得k2≤（1+sin2x）min且k-k2≤（sinx-sin2x）max
∴k2≤1且k-k2≤-2解之得k=-1
即存在实数k=-1，使不等式f（k-sinx）≥f（k2-sin2x）对一切实数x恒成立．