Question

已知x=2是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一个极值点
（I）求实数a的值；
（II）求函数f（x）在的最大值和最小值．

Answer

（I）由x=2是函数f（x）=（x2+ax-2a-3）ex的一个极值点可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出a；
（II）求导函数，可得函数在x=1或2处取极值，比较极值与端点函数值，即可得到结论．
【解析】
（I）由f（x）=（x2+ax-2a-3）ex可得
∴f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax-2a-3）ex=[x2+（2+a）x-a-3]ex
∵x=2是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0
∴（a+5）e2=0，
解得a=-5；
（II）由（I）知，f′（x）=（x-2）（x-1）ex，
∴函数在x=1或2处取极值
∵f（1）=3e，f（2）=e2，f（3）=e3，
∴函数f（x）在的最小值为f（2）=e2；最大值为e3．