Question

若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有    ．
（1）F（x）是[0，1]上的增函数；
（2）F′（x）=f（x）；
（3）F（x）是[0，1]上的减函数；
（4）∃x∈[0，1]使得F（1）=f（x）．

Answer

根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）≥0在[a，b]上形成的曲边梯形的面积为S=∫abf（x）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；且f（x）为F（x）的原函数；根据下边的图形可得（4）正确．
【解析】
由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），
当x逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，
所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；
由定积分的几何意义可知，必然）∃x∈[0，1]，使S1=S2，
此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F（1）=∫1f（t）dt=f（x），故（4）正确．
所以对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）
故答案为：（1）（2）（4）