Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小．

Answer

（Ⅰ）欲证AM⊥平面A1BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AM与平面A1BC内两相交直线垂直，而BC⊥AM，AM⊥BA1，BC∩BA1=B，满足定理条件；
（Ⅱ）设AM与A1C的交点为O，连接BO，根据二面角平面角的定义可知∠BOC为二面角B-AM-C的平面角，在Rt△BCO中求解此角即可．
证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
易知面ACC1A1⊥面ABC，∵∠ACB=90°，
∴BC⊥面ACC1A1．
∵AM⊆面ACC1A1，∴BC⊥AM．∵AM⊥BA1，
且BC∩BA1=B，∴AM⊥平面A1BC．
【解析】
（Ⅱ）设AM与A1C的交点为O，连接BO，
由（Ⅰ）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，
所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角．
在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠AA1C=∠MAC．∴Rt△ACM∽Rt△A1AC．∴AC2=MC•AA1．
∴．
∴在Rt△ACM中，．∵，
∴CO=1．
∴在Rt△BCO中，．
∴∠BOC=45°，故所求二面角的大小为45°．