Question

已知函数．
（I）求g（x）的极小值；
（II）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数，求m的取值范围；
（III）设（e是自然对数的底数）上至少存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意，x＞0，求导函数，确定函数的单调性，即可求得g（x）的极小值；
（Ⅱ）求导函数y′=，根据f（x）-g（x）在[1，+∞）内为单调增函数，所以mx2-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，利用分离参数法，即可求得m的取值范围；
（III）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）；当x∈（1，e]时，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞，构造函数，确定函数的最小值，即可求得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意，x＞0，g′（x）=，
∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，
所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故g（x）极小值=g（1）=1．  …（4分）
（Ⅱ）∵y=f（x）-g（x）=，
∴y′=，
由于f（x）-g（x）在[1，+∞）内为单调增函数，
所以mx2-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥在[1，+∞）上恒成立，
∵（）max=1，
∴m的取值范围是[1，+∞）．               …（8分）
（III）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）．
当x∈（1，e]时，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞，令G（x）=，
则G′（x）=＜0，
所以G（x）在（1，e]上递减，G（x）min=G（e）=．
综上，要在[1，e]上存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，必须且只需m＞．