Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N^*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设a=，c=，b_n=n（1-a_n），n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意n∈N^*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）

Answer

（Ⅰ）根据题设条件进行恒等变形，构造an-1=c（an-1-1），利用迭代法，即可求数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论求出数列的通项，利用错位相减法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论知an=（a-1）cn-1+1．接合题设条件得0＜cn-1＜，再用反证法得出c的范围．
【解析】
（Ⅰ）由题设得：n≥2时，an-1=c（an-1-1）=c2（an-2-1）=…=cn-1（a1-1）=（a-1）cn-1．
所以an=（a-1）cn-1+1．
当n=1时，a1=a也满足上式．
故所求的数列{an}的通项公式为：an=（a-1）cn-1+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=n（1-an）=
∴Sn=b1+b2+…+bn=+2•+…+
∴Sn=+2•+…++
∴两式相减可得Sn=++…+-
∴Sn=
（Ⅲ）由（Ⅰ）知an=（a-1）cn-1+1．
若0＜（a-1）cn-1+1＜1，则0＜（1-a）cn-1＜1．
因为0＜a1=a＜1，∴0＜cn-1＜（n∈N+）．
由于cn-1＞0对于任意n∈N+成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1，由函数f（x）=cx的图象知，当n→+∞时，cn-1→+∞，
所以cn-1＜不能对任意n∈N+恒成立，导致矛盾．
∴c≤1，因此0＜c≤1．