先在定义域上取值,再作差、变形,变形彻底后根据式子的特点,讨论判断符号、下结论.
证明:设0<x1<x2,则有f(x1)-f(x2)=()-()=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)
(1)当0<x1<x2<1时,x1x2<1,即,x1x2-1<0,又∵x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在(0,+∞)上为减函数.
(2)当1<x1<x2时,x1x2>1,即,x1x2-1>0,又∵x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数在(0,+∞)上为增函数.
综上所述,f(x)=x+在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.