Question

已知函数f（x）=-log_ax-2（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（2）；
（Ⅱ）求解关于x的不等式f（）＞0；
（Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

Answer

（I）当a=2时，直接代入计算，可求f（2）；
（II）令，t∈（0，+∞），f（）＞0等价于（logat-2）（logat+1）＞0，分类讨论，可得结论；
（III）令logax=v，y=f（v）=v2-v-2，对称轴为．对a讨论，结合函数f（x）在[2，4]的最小值为4，即可求实数a的值．
【解析】
（Ⅰ）当a=2时，f（2）=-log22-2=1-1-2=-2                     …．（2分）
（Ⅱ）令，t∈（0，+∞）
f（）＞0等价于（logat-2）（logat+1）＞0
∴logat＞2或logat＜-1，
当a＞1时，t＞a2或
∴或
∴或；
当0＜a＜1时，t＜a2或
∴或
∴或              …．（7分）
（Ⅲ）令logax=v，y=f（v）=v2-v-2，对称轴为．
当a＞1时，v∈[loga2，loga4]
①当1＜a≤4，即时，f（v）在[loga2，loga4]上单调递增，
∴fmin（v）=f（loga2）=
∴loga2=3或loga2=-2（不合题意）
∴
②当4＜a＜16，即时，；
③当a≥16，即时，fmin（v）=f（loga4）=
∴loga4=3或loga4=-2（不合题意）
当0＜a＜1时，v∈[loga4，loga2]，显然，
∴fmin（v）=f（loga2）=
∴loga2=-2或loga2=3（不合题意）
∴
综上：或                    …．（12分）