Question

已知单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E分别是棱C₁D₁的中点，试求：
（1）AE与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值；
（2）二面角C₁-DB-A的余弦值．

Answer

以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
（1）设正方体棱长为2．则E（0，1，2），A（2，0，0）．可得，平面的法向量为．设AE与平面BCC1B1所成的角为θ．=．
（2）A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），可得，，，设平面的法向量为=（x，y，z），则，即可得到，取平面ADB的法向量为．设二面角C1-DB-A的大小为α，从图中可知：α为钝角．可得，进而得到cosα．
【解析】
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
（1）设正方体棱长为2．则E（0，1，2），A（2，0，0）．，平面的法向量为．
设AE与平面BCC1B1所成的角为θ．===．
∴sinθ=．
（2）A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），
∴，，．
设平面的法向量为=（x，y，z），则，
令y=-1，则x=1，z=1．∴=（1，-1，1）．取平面ADB的法向量为．
设二面角C1-DB-A的大小为α，从图中可知：α为钝角．
∵===，
∴．