Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I） 求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）取B1C1的中点E，连接A1E，EC，易证平面A1EC∥平面AB1D，从而可证得A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得需要的各点的坐标，利用向量的坐标运算即可知点M是否存在．
证明：（I）取B1C1的中点E，连接A1E，EC，则A1EAD，ECB1D，A1E∩EC=E，B1D∩AD=D，
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A1B1C1，AC⊥BC，故可以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC=BC=BB1=1，点D是BC的中点，
则A1（1，0，1），D（0，，0），B1（0，1，1），设M（0，1，h），
则=（-1，1，h-1），=（0，-，-1），
∵A1M⊥B1D，
∴•=-1×0+1×（-）+（h-1）×1=0，
∴h=．
∴M为所在线段中点，
∴=．