(I)连BD交AC于点E,连EF,可得EF是△A1BD的中位线,得EF∥A1B,利用线面平行的判定定理即可证出A1B∥平面AFC;
(II)连结B1C,根据正方体的对角面A1B1CD为矩形,得A1C的中点H也是B1D的中点,因此问题转化为证明B1D⊥平面AFC.利用正方体的性质,结合线面垂直的判定与性质证出AF⊥B1D且AE⊥B1D,最后根据AF、AE是平面AFC内的相交直线,可得
B1D⊥平面AFC,由此得到B1H⊥平面AFC.
【解析】
(Ⅰ)连结BD交AC于点E,则E为BD的中点,连结EF
∵EF是△A1BD的中位线,∴EF∥A1B
∵EF⊄平面AFC,A1B⊂平面AFC,
∴A1B∥平面AFC;
(II)连结B1C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1B1CD是矩形
∵矩形A1B1CD中,H为A1C的中点,∴H也是B1D的中点
因此,要证明B1H⊥平面AFC,即证明B1D⊥平面AFC
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面AA1C1C,AF⊂平面AA1C1C,∴AF⊥A1B1
又∵正方形AA1C1C中,AF⊥A1D,A1B1∩A1D=A1,
∴AF⊥平面A1B1CD,结合B1D⊂平面A1B1CD,得AF⊥B1D
同理可证:AE⊥B1D,
∵AF、AE是平面AFC内的相交直线,
∴B1D⊥平面AFC,即B1H⊥平面AFC