Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁+k₂=0．

Answer

（1）先设出椭圆的标准方程，根据题意联立方程组，求得a和b，椭圆的方程可得．
（2）由点斜式设出直线l的方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k的范围．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）由根据韦达定理，分别求得x1+x2和x1x2进而表示出k1和k2，进而可求得k1+k2．
【解析】
（1）设椭圆方程为=1
则解得a2=8，b2=2
∴椭圆方程为
（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由kOM=
∴l的方程为y=x+m
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x2+2mx+2m2-4=0
∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点
∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由x2+2mx+2m2-4=0可得
x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4
则k1=，k2=
而k1+k2=+===0
∴k1+k2=0，
故得证．