Question

已知函数f（x）=-|x-2|，g（x）=-|x-3|+m
（1）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．
（2）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0，a∈R．

Answer

（1）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即|x-2|+|x+3|＞m对任意实数x恒成立，求出左边的最小值，即可求m的取值范围；
（2）对a进行分类讨论，再利用绝对值的几何意义，即可得到不等式的解集．
【解析】
（1）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即-|x-2|＞-|x-3|+m对任意实数x恒成立．
即|x-2|+|x+3|＞m对任意实数x恒成立．
由于|x-2|+|x+3|≥（x-2）-（x+3）=5，故只要m＜5．
所以m的取值范围是（-∞，5）．
（2）不等式f（x）+a-1＞0，即|x-2|+a-1＞0．
当a=1时，不等式的解集是（-∞，2）∪（2，+∞）；
当a＞1时，不等式的解集为R；
当a＜1时，即|x-2|＞1-a，即x-2＜a-1或者x-2＞1-a，即x＜a+1或者x＞3-a，解集为（-∞，1+a）∪（3-a，+∞）．