Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设，求AC与平面AEF所成的角的正弦值．

Answer

（1）先由条件证明BA⊥平面EFG，可得BA⊥EF ①．再求得△EPB为等腰三角形，故有EF⊥BP ②．由①②利用直线和平面垂直的判定定理可得EF⊥平面PAB．
（2）设AD=1=PD，则AB=．设AC∩BD=O，则FO⊥平面ABCD．设点C到平面AEF的距离为h，根据VF-ACE=VC-AEF 求得h=．而AC=，设AC与平面AEF所成的角为θ，由sinθ=，运算求得结果．
【解析】
（1）∵ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，∴BA⊥PA．
取AB得中点为G，∵E、F分别为CD、PB的中点，∴EG⊥AB．
再由FG为△BAP的中位线，可得FG∥PA，∴FG⊥BA．
这样，BA垂直于平面EFG内的两条相交直线EG、FG，∴BA⊥平面EFG，∴BA⊥EF  ①．
由AD=PD可得EP==EB=，故△EPB为等腰三角形，故有EF⊥BP ②．
由①②可得EF⊥平面PAB．
（2）设AD=1=PD，则AB=．设AC∩BD=O，则FO为△BPD的中位线，故FO=PD=，且FO⊥平面ABCD．
设点C到平面AEF的距离为h，∵VF-ACE=VC-AEF，∴••CE•AD•FO=••AF•EF•h．
化简可得，CE•AD•FO=AF•EF•h ③．
再由AE===，AF=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）===1，
可得EF==．
故由③可得 =1××h，解得h=．
而AC=，设 AC与平面AEF所成的角为θ，则sinθ===，
故AC与平面AEF所成的角的正弦值为．