Question

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

Answer

（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B在x2=2py（p＞0）上，可求抛物线E的方程；
（2）由（1）知，，，设P（x，y），可得l：，与y=-1联立，求得取x=2，x=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．
【解析】
（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，
设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12
∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x2=4y；
（2）由（1）知，，
设P（x，y），则x≠0．l：即
由得，∴
取x=2，此时P（2，1），Q（0，-1），以PQ为直径的圆为（x-1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，-1）
取x=1，此时P（1，），Q（-，-1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，-）
故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下
∵
∴=2y-2-2y+2=0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．