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设,证明: (Ⅰ)当x>1时,f(x)<( x-1); (Ⅱ)当1<x<3时,....

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(Ⅰ)当x>1时,f(x)<manfen5.com 满分网( x-1);
(Ⅱ)当1<x<3时,manfen5.com 满分网
(Ⅰ)证法一,记g(x)=lnx+-1-(x-1),可得到g′(x)=+-<0,从而g(x)为减函数,又g(1)=0,当x>1时,g(x)<g(1),问题解决; 证法二,利用均值不等式,可证得,当x>1时,<+.①,令k(x)=lnx-x+1,同理可证k(x)为减函数,于是有lnx<x-1②,由①②可证得结论; (Ⅱ)记h(x)=f(x)-,可求得h′(x)=-<<0(1<x<3),从而h(x)在(1,3)内是递减函数,又由h(1)=0,得h(x)<0,从而证得结论; 证明:(Ⅰ)(证法一): 记g(x)=lnx+-1-(x-1),则当x>1时,g′(x)=+-<0, 又g(1)=0,有g(x)<0,即f(x)<( x-1);…4′ (证法二)由均值不等式,当x>1时,2<x+1,故<+.① 令k(x)=lnx-x+1,则k(1)=0,k′(x)=-1<0,故k(x)<0,即lnx<x-1② 由①②得当x>1时,f(x)<( x-1); (Ⅱ)记h(x)=f(x)-,由(Ⅰ)得, h′(x)=+- =- <- =, 令g(x)=(x+5)3-216x,则当1<x<3时,g′(x)=3(x+5)2-216<0, ∴g(x)在(1,3)内是递减函数,又由g(1)=0,得g(x)<0, ∴h′(x)<0,…10′ 因此,h(x)在(1,3)内是递减函数,又由h(1)=0,得h(x)<0, 于是,当1<x<3时,f(x)<…12′
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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