Question

三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c．
（I）求C角的大小
（Ⅱ）若a=，求△ABC的面积．

Answer

（I）根据cos（A-C）+cosB=1，可得cos（A-C）-cos（A+C）=1，展开化简可得2sinAsinC=1，由a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式，即可求得C角的大小
（Ⅱ）确定A，进而可求b，c，利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．
【解析】
（I）因为A+B+C=180°，所以cos（A+C）=-cosB，
因为cos（A-C）+cosB=1，所以cos（A-C）-cos（A+C）=1，
展开得：cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=1，
所以2sinAsinC=1．
因为a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，
代入上式可得：4sin2C=1，所以sinC=，
所以C=30°；
（Ⅱ）由（I）sinA=2sinC=1，∴A=
∵a=，C=30°，∴c=，b=
∴S△ABC=bc==．