Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer

（I）由已知中三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D是棱B1C1的中点，可证得CC1⊥A1D，A1D⊥B1C1，结合线面垂直的判定定理可得A1D⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AA1为x，y，z轴方向建立直角坐标系A-xyz，求出平面A1DC的法向量和平面ACC1A1的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角D-A1C-A的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．
因为A1D⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D，
又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，
所以A1D⊥B1C1．
因为CC1∩B1C1=C1，
所以A1D⊥平面BB1C1C．--------（6分）
（Ⅱ）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则.，
设平面A1DC的法向量为，则有，，x=-y=-z，
取x=1，得．
又因为，AB⊥平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1的法向量为     ，因为二面角D-A1C-A是钝角，
所以，二面角D-A1C-A的余弦值为．-------------（12分）