Question

已知直线y=-x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer

（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程求出椭圆的标准方程．
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两个交点的横、纵坐标之积；利用向量垂直的充要条件将
OA⊥OB用交点的坐标表示，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆的三个参数本身的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率的范围求出a的范围，得到椭圆的长轴长的最大值．
解（1）∵e=．又2c=2，解得a=，
则b=．
（2）
由
消去y得（a2+b2）•x2-2a2x+a2•（1-b2）=0，
由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．
设A（x1，y1，），B（x2，y2），
则x1+x2=．
∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），
∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0．
∴+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．
∵b2=a2-c2=a2-a2e2，代入上式得
2a2=1+，
∴a2=．
∵e∈∴，
∴，
∴≤2，∴≤3，
∴，适合条件a2+b2＞1，
由此得．
∴，
故长轴长的最大值为