先求得准线方程,可推知a和b的关系,进而根据c2=a2-b2求得b,椭圆的方程可得,与直线y=kx+2联立消去y,根据判别式等于0求得k,结合图形可得k的范围.
【解析】
根据题意,易得准线方程是x=±=±1
所以c2=a2-b2=4-b2=1即b2=3
所以方程是 =1
联立y=kx+2可得3x2+(4k2+16k)x+4=0
由△=0,解得k=-,
当直线y=kx+2过点A(2,0)时,k=-1,结合可得,直线y=kx+2与椭圆在第一象限至多只有一个交点,则实数k的取值范围为 (-∞,1]∪[-,+∞).
故答案为:(-∞,1]∪[-,+∞).