Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b²-a²取值范围．

Answer

（Ⅰ）写出直线l的方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点B，D的横坐标的和，结合BD的中点为M（1，3）列式求得C的离心率；
（Ⅱ）化简双曲线的方程，进一步把B，D两点的横坐标的和与积用仅含a的代数式表示，用两点间的距离公式写出|BF|和|DF|，代入|DF|•|BF|≤17，然后把根与系数的关系代入得到含有a的不等式，求解不等式得到a的取值范围，则b2-a2取值范围可求．
【解析】
（I）由题知，l的方程为：y=x+2．
代入C的方程，并化简，得（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0．
设B（x1，y1）、D（x2，y2）则   ①
由M（1，3）为BD的中点知，故，
即b2=3a2  ②
故，所以C的离心率；
（II）由①、②知C的方程为：3x2-y2=3a2．
F（2a，0），．
故不妨设x1≤-a，x2≥a
，
|FD|=，
|BF|•|DF|=（a-2x1）（2x2-a）=
=．
又|BF|•|DF|≤17，故5a2+4a+8≤17，
解得，故0＜a≤1．
由e=2，得b2=3a2，故b2-a2=2a2∈（0，2]．