Question

若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

如图，Q为北纬45°圈 的圆心，△QAB，OAB均为等腰三角形，设M为AB中点，可知∠OMQ为所求角．由已知，求出QM，OM再在RT△OMQ中求解即可．
【解析】
如图，A、B两点间的球面距离为以O为圆心，且过A，B的圆中弧AB的长度，
设∠AOB=α，则α•R=，α=．，
又OA=OB，∴△AOB为正三角形，∴AB=R．
设Q为北纬45°圈的圆心，则由球的截面圆形状可知，OQ⊥⊙Q面，∠OAQ=45°，
且截面圆半径长QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°=R．
在△QAB中，QA2+QB2=AB2，得△QAB为等腰直角三角形．
设M为AB中点，连接QM，OM，则OM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠OMQ为北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的平面角．
在RT△OMQ中，cos∠OMQ====
所以所求二面角的余弦值是
故选B．