Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=，SA=SB=．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小；
（3）求二面角D-SA-B的大小．

Answer

（1）根据条件中所给的两两垂直的三条直线建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出，的坐标，根据求出两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直．
（2）求线面角，写出线对应的向量，求出一条直线与平面垂直，这是平面的一个法向量，根据两个向量的夹角做出线与平面所成的角的正弦．
（3）要求两个平面的二面角，需要做出两个平面的法向量，根据上一问知道为平面SAB的法向量，只要求出面SDB的一个法向量，利用两个法向量的夹角的余弦值，得到两个向量的夹角．
【解析】
（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz
，，，S（0，0，1），，，
，
所以SA⊥BC
（2）取AB中点E，，
连接SE，取SE中点G，连接OG，．
，，
．，，
OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．
∴OG⊥平面SAB，与的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余
，．
，
∴，
（3）由上知为平面SAB的法向量，
易得D（）
，
同理可求得平面SDA的一个法向量为
∴=
由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为150°．