Question

设函数．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值．
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导，根据导数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间进而求出极值点．
（2）将（1）中所求的导函数f'（x）代入|f'（x）|≤a得到不等关系式，再由函数f'（x）的单调性求出最值可得解．
【解析】
f'（x）=-x2+4ax-3a2．令f'（x）=-x2+4ax-3a2=0，得x=a或x=3a由表

可知：当x∈（-∞，a）时，函数f（x）为减函数，当x∈（3a，+∞）时．函数f（x）也为减函数；
当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．
当x=a时，f（x）的极小值为时，f（x）的极大值为b．
（2）由|f'（x）|≤a，得-a≤-x2+4ax-3a2≤a．
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a，f'（x）=-x2+4ax-3a2在[a+1，a+2]上为减函数．
∴[f'（x）]max=f'（a+1）=2a-1，[f'（x）]min=f'（a+2）=4a-4．
于是，问题转化为求不等式组的解．解得．又0＜a＜1，∴．