Question

求满足下列条件的概率（若是古典概率模型请列出所有基本事件）
（1）若mn都是从集合{1，2，3}中任取的数字，求函数f（x）=x²-4mx+4n²有零点的概率；
（2）若mn都是从区间[1，4]中任取的数字，
①求函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[2，4]上为单调函数的概率；
②在区间[0，4]内任取两个实数x，y，求事件“x²+y²＞（m-n）²恒成立”的概率．

Answer

（1）设函数f（x）有零点为事件A，由于m、n都是从集合{1，2，3}中任取的数字，依题意得所有的基本事件个数为N=9．若函数f（x）=x2-4mx+4n2有零点，
则△=16m2-16n2≥0，化简可得m≥n．用列举法求得事件A所含的基本事件共有6个，由此可得事件A的概率．
（2）①设函数f（x）=x2-4mx+4n2在区间[2，4]上为单调函数为事件B，依题意得所有基本事件构成的区域面积为SΩ=9．则构成事件B的区域，
由此求得事件B的概率．
②设在区间[0，4]内任取两个实数x，y，“x2+y2＞（m-n）2恒成立”为事件C，则事件C等价于“x2+y2＞9”，求得全部结果所构成的区域Ω的面积为16，
而事件C所构成的区域B构成的区域面积，根据P（C）=，运算求得结果．
【解析】
（1）设函数f（x）有零点为事件A，由于m、n都是从集合{1，2，3}中任取的数字，依题意得
所有的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），
（3，2），（3，3），其中第一个数表示m的取值，第二个数表示n的取值，即基本事件总数为N=9．
若函数f（x）=x2-4mx+4n2有零点，则△=16m2-16n2≥0，化简可得m≥n．
故事件A所含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），共计6个基本事件，
则．…（5分）
（2）①设m、n都是从区间[1，4]中任取的数字，设函数f（x）=x2-4mx+4n2在区间[2，4]上为单调函数为事件B，
依题意得，所有的基本事件构成的区域，故所有基本事件构成的区域面积为SΩ=9．
若函数f（x）=x2-4mx+4n2在区间[2，4]上为单调函数，则对称轴方程为2≤2m≤4，求得1≤m≤2．
则构成事件B的区域，如图所示（阴影部分表示事件B）．
则．…（9分）
②设在区间[0，4]内任取两个实数x，y，“x2+y2＞（m-n）2恒成立”为事件C，则事件C等价于“x2+y2＞9”，
（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω={（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}，
而事件C所构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞9，（x，y）∈Ω }．如图所示（阴影部分表示事件C）
SΩ=4×4=16，，∴P（C）===1-π． …（14分）