Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=2，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-ADC的体积．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用等积变形即可求出．
证明：（Ⅰ）∵A1B1=A1C1，点D是棱B1C1的中点．
∴A1D⊥B1C1．
由直三棱柱ABC-A1B1C1，可得BB1⊥B1C．
∵BB1∩B1C1=B1．
∴A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）∵A1B1=A1C1=2，∠B1A1C1=90°，
∴．
∵点D是棱B1C1的中点，∴．
∵A1A∥平面BB1C1C，∴点A与A1到平面BB1C1C的距离相等，
∴===．