Question

已知函数f（x）=x²（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=a+，函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若b=0，不等式1nx+1≥0对任意的恒成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，利用函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，建立不等式，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）不等式1nx+1≥0对任意的恒成立，可化为x-lnx+1≥a对任意的恒成立，确定左边的最小值，即可求得a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）若a=3，b=l，则f（x）=x3-3x2+x，∴f′（x）=3x2-6x+1
∴f′（1）=3×12-6+1=-2，f（1）=-1
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1；
（Ⅱ）∵b=a+，∴f（x）=x3-ax2+（a+）x，∴f′（x）=3x2-2ax+a+
∵函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，
∴，∴5＜a＜；
（Ⅲ）若b=0，则f（x）=x2（x-a）
∴不等式1nx+1≥0对任意的恒成立，可化为x-lnx+1≥a对任意的恒成立，
设g（x）=x-lnx+1，则g′（x）=1-
令g′（x）＜0，∵x≥，∴可得；g′（x）＞0，∵x≥，∴可得x＞1
∴g（x）在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴g（x）的最小值为g（1）=2
∴a≤2．